問題5：$\triangle ABC$ において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めよ。 問題6：$\triangle ABC$ において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、角$A$の大きさを求めよ。 問題7：$\triangle ABC$ において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

問題5：$\triangle ABC$ において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めよ。

問題6：$\triangle ABC$ において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、角$A$の大きさを求めよ。

問題7：$\triangle ABC$ において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

問題5：

$\angle C = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 60^\circ}$

$CA = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$2R = \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$

$R = 2\sqrt{2}$

問題6：

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos A$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$12 \cos A = 6$

$\cos A = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$A = 60^\circ$

問題7：

$\triangle ABC$の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

問題5：

$CA = 2\sqrt{6}$

$R = 2\sqrt{2}$

問題6：

$A = 60^\circ$

問題7：

$S = 6\sqrt{6}$