この問題は、三角比の定義、相互関係、公式、正弦定理・余弦定理、三角形の面積に関する穴埋め問題です。

## 問題の解答

1. 問題の内容

この問題は、三角比の定義、相互関係、公式、正弦定理・余弦定理、三角形の面積に関する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

1. **三角比の定義:**

* 図から、$AB=2$, $OA=1$ なので, $OB = \sqrt{3}$となります.

* $\sin A = \frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$

* $\cos A = \frac{OB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan A = \frac{OA}{OB}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. **三角比の相互関係:**

* (1) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

* (2) $\tan \beta = -2 = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

$1 + \tan^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$ より、$\cos^2 \beta = \frac{1}{1 + (-2)^2} = \frac{1}{5}$.

$\beta$は鈍角なので、$\cos \beta < 0$ より、$\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \beta = \tan \beta \cos \beta = (-2) \times (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. **90°-θ, 180°-θの三角比:**

* (1) $\sin(180^{\circ} - \theta) \cos(90^{\circ} - \theta) + \sin(90^{\circ} - \theta) \cos \theta = \sin \theta \sin \theta + \cos \theta \cos \theta = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

* (2) $\tan 18^\circ \tan 36^\circ \tan 54^\circ \tan 72^\circ = \tan 18^\circ \tan 36^\circ \tan (90^\circ - 36^\circ) \tan (90^\circ - 18^\circ) = \tan 18^\circ \tan 36^\circ \cot 36^\circ \cot 18^\circ = \tan 18^\circ \cot 18^\circ \tan 36^\circ \cot 36^\circ = 1 \times 1 = 1$

4. **正弦定理・余弦定理:**

* (1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$. よって、$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$. よって、$c = 2\sqrt{2}$.

$R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{2\sqrt{2}}{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2$

* (2) 余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 120^{\circ} = 25 + 9 - 30 \times (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$. よって、$c = \sqrt{49} = 7$

* (3) 余弦定理より、$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

5. **三角形の面積:**

* $S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \times 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

1:

* ア: 1

* イ: 2

* ウ: 3

* エ: ルート3

* オ: 2

* カ: ルート3

* キ: 3

* ケ: 3

2:

* (1)

* ア: ルート5

* イ: 3

* ウ: 2ルート5

* エ: 5

* オ: 5

* (2)

* カ: マイナスルート5

* キ: 5

* ク: 5

* ケ: 2ルート5

* コ: 5

* サ: 5

3:

* (1) 1

* (2) 1

4:

* (1)

* ア: 2

* イ: ルート2

* ウ: 2

* (2) 7

* (3) 1

* カ: 5

5:

* 10

* ウ: ルート3