△ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、∠ADB = 90°, BD = 3, CD = 1, AD = √7である。AB, AC, AE, CEの長さを求め、また△CAEと相似な三角形を選ぶ問題。

1. 問題の内容

△ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、∠ADB = 90°, BD = 3, CD = 1, AD = √7である。AB, AC, AE, CEの長さを求め、また△CAEと相似な三角形を選ぶ問題。

2. 解き方の手順

まず、ABの長さを求める。△ABDは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 = (\sqrt{7})^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16$

したがって、$AB = \sqrt{16} = 4$

次に、ACの長さを求める。△ADCは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7 + 1 = 8$

したがって、$AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、△CAEと相似な三角形を考える。円O上の点Aにおける接線と直線BCとの交点をEとすると、接弦定理より、∠CAE = ∠ABC。また、∠ACBは共通なので、△CAE∽△ABE。

したがって、エの解答は②。

次に、AEの長さを求める。△CAE∽△ABEより、

$\frac{CA}{AB} = \frac{CE}{AE} = \frac{AE}{BE}$

$\frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

また、$AE^2 = BE \cdot CE$ が成り立つ。

ここで、$CE = x$ とすると、$BE = 4 + x$

$AE^2 = (4+x)x$

また、$\frac{CE}{AE} = \frac{AC}{AB}$ より、$\frac{x}{AE} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AE = \frac{2x}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}x$

したがって、$2x^2 = (4+x)x$

$2x^2 = 4x + x^2$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

$x = 4$ なので、$CE = 4$

$AE = \sqrt{2} \cdot 4 = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

AB = 4

AC = $2\sqrt{2}$

エ = ②

AE = $4\sqrt{2}$

CE = 4