三角形ABCにおいて、$AB = 15$, $BC = 18$, $AC = 12$とする。頂角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。線分BD, ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 15$, $BC = 18$, $AC = 12$とする。頂角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。線分BD, ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$である。

よって、$BD:DC = 15:12 = 5:4$となる。

$BC = 18$なので、$BD = \frac{5}{5+4} \times 18 = \frac{5}{9} \times 18 = 10$となる。

次に、線分ADの長さを求める。三角形ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{15^2 + 18^2 - 12^2}{2 \times 15 \times 18} = \frac{225 + 324 - 144}{540} = \frac{405}{540} = \frac{3}{4}$

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos B$

$AD^2 = 15^2 + 10^2 - 2 \times 15 \times 10 \times \frac{3}{4} = 225 + 100 - 225 = 100$

$AD = \sqrt{100} = 10$

3. 最終的な答え

$BD = 10$

$AD = 10$