(4) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフが3点 $(0, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。 (5) $\triangle ABC$ について、$\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 105^\circ$ であり、$\triangle ABC$ の外接円の半径は2である。このとき、$\triangle ABC$ の辺のうち、最も短い辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

(4) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフが3点 $(0, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。

(5) $\triangle ABC$ について、$\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 105^\circ$ であり、$\triangle ABC$ の外接円の半径は2である。このとき、$\triangle ABC$ の辺のうち、最も短い辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(4)

2次関数 $f(x)$ は $f(x) = ax^2 + bx + c$ と表せる。

3点 $(0, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$ を通ることから、以下の連立方程式が得られる。

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1$

$f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 5$

$f(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c = 4$

上記の連立方程式を解く。

$c = 1$

$4a + 2b + 1 = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2$

$9a + 3b + 1 = 4 \Rightarrow 9a + 3b = 3 \Rightarrow 3a + b = 1$

$(3a + b) - (2a + b) = 1 - 2 \Rightarrow a = -1$

$2(-1) + b = 2 \Rightarrow b = 4$

したがって、$a = -1$, $b = 4$, $c = 1$ である。

$f(x) = -x^2 + 4x + 1$

(5)

$\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\angle B = 105^\circ$ なので、$\angle C = 180^\circ - (45^\circ + 105^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ である。

$\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると、$R = 2$ である。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、$a, b, c$ はそれぞれ $\angle A, \angle B, \angle C$ の対辺の長さを表す。

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 105^\circ} = \frac{c}{\sin 30^\circ} = 2 \times 2 = 4$

したがって、

$a = 4 \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$c = 4 \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$b = 4 \sin 105^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$a = 2\sqrt{2} \approx 2.828$

$b = \sqrt{6} + \sqrt{2} \approx 2.449 + 1.414 = 3.863$

$c = 2$

$a, b, c$ の中で最も短いのは $c$ である。

3. 最終的な答え

(4) $f(x) = -x^2 + 4x + 1$

(5) 2