中心が原点であり、漸近線の傾きが $\frac{1}{2}$ である双曲線の方程式を、点 $(2\sqrt{5}, 0)$ を通るという条件のもとで求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

中心が原点であり、漸近線の傾きが $\frac{1}{2}$ である双曲線の方程式を、点 $(2\sqrt{5}, 0)$ を通るという条件のもとで求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の標準形は、

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ または $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ で表されます。

中心が原点であること、漸近線の傾きが $\pm \frac{1}{2}$ であることから、$b/a = \frac{1}{2}$ または $a/b=\frac{1}{2}$ が成り立ちます。

ここで、点 $(2\sqrt{5}, 0)$ を通ることから、双曲線は $x$ 軸と交点を持つので、双曲線の方程式は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の形であることが分かります。

漸近線の傾きが $\frac{1}{2}$ であることから、$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ となり、$b = \frac{1}{2}a$ が得られます。

与えられた点 $(2\sqrt{5}, 0)$ を双曲線の方程式に代入すると、

$\frac{(2\sqrt{5})^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$

$\frac{20}{a^2} = 1$

$a^2 = 20$

$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$b = \frac{1}{2}a$ なので、$b = \frac{1}{2}(2\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

$b^2 = 5$

したがって、双曲線の方程式は

$\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{5} = 1$

両辺に20をかけると

$x^2 - 4y^2 = 20$

3. 最終的な答え

$x^2 - 4y^2 = 20$