直角三角形に内接する半円の直径$x$を求める問題です。直角三角形の斜辺は$4\sqrt{5}$ cm、高さは4 cmです。

1. 問題の内容

直角三角形に内接する半円の直径$x$を求める問題です。直角三角形の斜辺は$4\sqrt{5}$ cm、高さは4 cmです。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形の底辺を求めます。ピタゴラスの定理より、

底辺の長さ = $\sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{16 \cdot 5 - 16} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8$ cm。

次に、相似な三角形を利用します。直角三角形において、頂点から斜辺に垂線を下ろすと、元の三角形と相似な2つの三角形ができます。

小さい方の三角形に着目します。小さい三角形の高さは半円の半径$r$と等しく、$x=2r$となります。小さい三角形の底辺は$4$cmです。斜辺は$4\sqrt{5}$cmです。

大きい直角三角形と小さい直角三角形は相似なので、以下の比例式が成り立ちます。

$\frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{x/2}{8}$

これを解くと、

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{x}{16}$

$x = \frac{16}{\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{16\sqrt{5}}{5}$