一辺の長さが 6 の正方形 ABCD を底面とする四角錐 O-ABCD がある。OA = OB = OC = OD = $6\sqrt{6}$ であるとき、辺 BD の長さ、cos ∠OBD、四角錐 O-ABCD の高さ、体積をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが 6 の正方形 ABCD を底面とする四角錐 O-ABCD がある。OA = OB = OC = OD = $6\sqrt{6}$ であるとき、辺 BD の長さ、cos ∠OBD、四角錐 O-ABCD の高さ、体積をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 辺 BD の長さ

正方形 ABCD の一辺の長さが 6 であるから、BD は正方形の対角線である。

したがって、BD = $\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

(2) cos ∠OBD

OB = OD = $6\sqrt{6}$、BD = $6\sqrt{2}$ である。

△OBD において、余弦定理より、

$BD^2 = OB^2 + OD^2 - 2 \cdot OB \cdot OD \cdot \cos \angle OBD$

$(6\sqrt{2})^2 = (6\sqrt{6})^2 + (6\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{6}) \cdot (6\sqrt{6}) \cdot \cos \angle OBD$

$72 = 216 + 216 - 2 \cdot 36 \cdot 6 \cdot \cos \angle OBD$

$72 = 432 - 432 \cos \angle OBD$

$432 \cos \angle OBD = 360$

$\cos \angle OBD = \frac{360}{432} = \frac{5}{6}$

ここでcosの値は選択肢の中にない。

三角形ABDはAB=ADの二等辺三角形であるから、OB=ODより∠OBD=∠ODBとなる。

底面の正方形の中心をMとするとBM=DMなので△OBM≡△ODMとなる。

∠OBM=∠ODMであるから、∠OBD=∠OBM。

したがって、cos∠OBD=cos∠OBMを求める。

BM=6/√2=3√2

OB=$6\sqrt{6}$

よって、△OBMにおいて、余弦定理より、

$OM^2=OB^2+BM^2-2*OB*BM*cos∠OBM$

$cos∠OBM=\frac{OB^2+BM^2-OM^2}{2OB*BM}$

OMはOからABCDに下ろした垂線の長さであるからOMを求める。

正方形の中心をMとするとAM=BM=CM=DM=3√2

$OA^2=OM^2+AM^2$

$(6√6)^2=OM^2+(3√2)^2$

216 = OM^2 + 18

OM^2 = 198

OM=$3√22$

cos∠OBD = cos∠OBM = $\frac{OB^2+BM^2-OM^2}{2OB*BM}$

= $\frac{(6√6)^2+(3√2)^2-(3√22)^2}{2*6√6*3√2}$

= $\frac{216+18-198}{36√12}$

= $\frac{36}{36*2√3}$

= $\frac{1}{2√3}=\frac{√3}{6}$

(3) 四角錐 O-ABCD の高さ

O から正方形 ABCD に下ろした垂線の足を M とすると、M は正方形 ABCD の中心になる。

したがって、AM = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}$

△OAM において、三平方の定理より、

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = (6\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 216 - 18 = 198$

よって、OM = $\sqrt{198} = 3\sqrt{22}$

(4) 四角錐 O-ABCD の体積

四角錐の体積は、底面積 × 高さ × (1/3) で求められる。

底面積は正方形 ABCD の面積なので $6^2 = 36$

高さは OM = $3\sqrt{22}$

よって、体積 = $36 \cdot 3\sqrt{22} \cdot \frac{1}{3} = 36\sqrt{22}$

3. 最終的な答え

辺 BD の長さ: $6\sqrt{2}$ (選択肢 1)

cos ∠OBD: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ (選択肢 1)

四角錐 O-ABCD の高さ: $3\sqrt{22}$ (選択肢 2)

四角錐 O-ABCD の体積: $36\sqrt{22}$ (選択肢 3)