$\cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用します。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて $\sin\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{1}{4}$ なので、

$\sin^2\theta + (\frac{1}{4})^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2\theta = \frac{15}{16}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ の範囲では $\sin\theta \ge 0$ なので、

$\sin\theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\tan\theta$ を求めます。

$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{4}{1} = \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan\theta = \sqrt{15}$