問題は3つの不等式が与えられており、それぞれの不等式が表す領域を図示する問題です。 (1) $2x + 5y \leq 4$ (2) $|2x + y - 1| \leq 5$ (3) $|x - 2| \leq y \leq -|x - 2| + 4$

1. 問題の内容

問題は3つの不等式が与えられており、それぞれの不等式が表す領域を図示する問題です。

(1) $2x + 5y \leq 4$

(2) $|2x + y - 1| \leq 5$

(3) $|x - 2| \leq y \leq -|x - 2| + 4$

2. 解き方の手順

(1)

$2x + 5y \leq 4$ を $y$ について解くと、

$5y \leq -2x + 4$

$y \leq -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

この不等式は、直線 $y = -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$ の下側の領域を表します。境界線を含みます。

(2)

$|2x + y - 1| \leq 5$ は、

$-5 \leq 2x + y - 1 \leq 5$ と同値です。

これを変形すると、

$-5 \leq 2x + y - 1$ かつ $2x + y - 1 \leq 5$

$-2x - 4 \leq y$ かつ $y \leq -2x + 6$

したがって、$-2x - 4 \leq y \leq -2x + 6$ となります。

これは2つの直線 $y = -2x - 4$ と $y = -2x + 6$ の間の領域を表します。境界線を含みます。

(3)

$|x - 2| \leq y \leq -|x - 2| + 4$

$|x-2|$ は絶対値なので、$x-2 \geq 0$ のとき $x-2$ であり、$x-2<0$ のとき$-(x-2)$ になります。

(i) $x \geq 2$ のとき、

$x - 2 \leq y \leq -(x - 2) + 4$

$x - 2 \leq y \leq -x + 6$

(ii) $x < 2$ のとき、

$-(x - 2) \leq y \leq -(-(x - 2)) + 4$

$-x + 2 \leq y \leq x + 2$

したがって、これは領域の境界が$y=|x-2|$ と $y=-|x-2|+4$の間の領域を示します。

$y=|x-2|$は$x=2$で折れ曲がるV字のグラフです。

$y=-|x-2|+4$は$x=2$で折れ曲がる逆V字のグラフであり、頂点が(2,4)です。

求める領域はこれらのグラフに挟まれた部分になります。

3. 最終的な答え

(1) $y \leq -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$ で表される領域（境界線を含む）。

(2) $-2x - 4 \leq y \leq -2x + 6$ で表される領域（境界線を含む）。

(3) $|x - 2| \leq y \leq -|x - 2| + 4$ で表される領域（境界線を含む）。

それぞれの領域は、上記不等式を満たす(x,y)の集合を図示することで表現できます。

それぞれの領域を図示する問題なので、図を別途用意する必要があります。