$\sin \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{5})^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{21}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ という条件から、$\cos \theta < 0$ であることがわかります。したがって、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}}$

$\tan \theta = \frac{2}{5} \times (-\frac{5}{\sqrt{21}})$

$\tan \theta = -\frac{2}{\sqrt{21}}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$