$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 (1) $\cos(\theta + \frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = 1$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

(1) $\cos(\theta + \frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(\theta + \frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$

まず、$\theta + \frac{5}{6}\pi = \alpha$ と置くと、$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ となります。

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、$\frac{5}{6}\pi \leq \alpha < 2\pi + \frac{5}{6}\pi = \frac{17}{6}\pi$ です。

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ です。

ただし、$\alpha$ の範囲を考慮すると、$\alpha = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ は範囲内です。

$\theta + \frac{5}{6}\pi = \frac{2}{3}\pi$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{4}{6}\pi - \frac{5}{6}\pi = -\frac{1}{6}\pi$ ですが、これは $0 \leq \theta < 2\pi$ を満たさないため、解ではありません。

$\theta + \frac{5}{6}\pi = \frac{4}{3}\pi$ より、$\theta = \frac{4}{3}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{8}{6}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{3}{6}\pi = \frac{1}{2}\pi$ です。

さらに、$2\pi$ を足した$\alpha$も考慮する必要がある。$\alpha = \frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{8}{3}\pi$。

$\theta + \frac{5}{6}\pi = \frac{8}{3}\pi$ より、$\theta = \frac{8}{3}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{16}{6}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{11}{6}\pi$ です。

$\alpha = \frac{4}{3}\pi + 2\pi = \frac{10}{3}\pi$

$\theta + \frac{5}{6}\pi = \frac{10}{3}\pi$ より、$\theta = \frac{10}{3}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{20}{6}\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{15}{6}\pi = \frac{5}{2}\pi > 2\pi$ なので範囲外です。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11}{6}\pi$ です。

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = 1$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \beta$ と置くと、$\tan \beta = 1$ となります。

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \leq \beta < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$ です。

$\tan \beta = 1$ を満たす $\beta$ は、$\beta = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi$ です。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{7}{12}\pi$ です。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{4}\pi$ より、$\theta = \frac{5}{4}\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{15}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{19}{12}\pi$ です。

したがって、$\theta = \frac{7}{12}\pi, \frac{19}{12}\pi$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11}{6}\pi$

(2) $\theta = \frac{7}{12}\pi, \frac{19}{12}\pi$