$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$のとき、$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$ である。このとき、$\sin \frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$のとき、$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$ である。このとき、$\sin \frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を思い出す。

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$

この公式に$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$ を代入する。

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{5}{13})}{2} = \frac{1 + \frac{5}{13}}{2} = \frac{\frac{18}{13}}{2} = \frac{9}{13}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{9}{13}} = \pm \frac{3}{\sqrt{13}}$

ここで、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$である。

よって、$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{13}}{13}$