与えられた四角形の面積を求める問題です。 (1) 平行四辺形ABCDの面積を求めます。対角線の長さが$AC=10, BD=6\sqrt{2}$ であり、対角線の交点Oにおける角$\angle AOD=135^\circ$です。 (2) 台形ABCDの面積を求めます。$AD // BC$ であり、$AB=5, BC=8, BD=7, \angle A = 120^\circ$ です。

1. 問題の内容

与えられた四角形の面積を求める問題です。

(1) 平行四辺形ABCDの面積を求めます。対角線の長さが$AC=10, BD=6\sqrt{2}$ であり、対角線の交点Oにおける角$\angle AOD=135^\circ$です。

(2) 台形ABCDの面積を求めます。$AD // BC$ であり、$AB=5, BC=8, BD=7, \angle A = 120^\circ$ です。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の面積Sは、対角線の長さと交わる角のsinを用いて計算できます。

$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \times \sin{\angle AOD}$

$\angle AOD = 135^\circ$ なので $\sin{135^\circ} = \sin{(180^\circ - 45^\circ)} = \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{2}{2} = 30$

(2) 台形の面積を求めるために、補助線を引いて考えます。AからBCに平行な線を引き、BDとの交点をEとします。また、DからBCに平行な線を引き、ABとの交点をFとします。平行四辺形を作ります。

三角形ABDにおいて余弦定理を用います。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\angle A}$

$7^2 = 5^2 + AD^2 - 2 \cdot 5 \cdot AD \cos{120^\circ}$

$49 = 25 + AD^2 - 10AD(-\frac{1}{2})$

$AD^2 + 5AD - 24 = 0$

$(AD+8)(AD-3) = 0$

$AD>0$ より $AD=3$

AからBCへ垂線を下ろし、その交点をHとします。三角形ABHにおいて、$AH = AB \sin{120^\circ} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

台形の面積は $S = \frac{1}{2}(AD + BC) \times AH = \frac{1}{2}(3+8) \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 30

(2) $\frac{55\sqrt{3}}{4}$