底面の半径が1、母線の長さが3の直円錐がある。頂点をOとし、底面の円周上の1点をAとする。Aから直円錐の側面を1周してAまで糸を巻きつけるとき、その糸の長さが最短となるときの糸の長さを求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が1、母線の長さが3の直円錐がある。頂点をOとし、底面の円周上の1点をAとする。Aから直円錐の側面を1周してAまで糸を巻きつけるとき、その糸の長さが最短となるときの糸の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

直円錐の側面を切り開いて平面上に展開する。

展開図は半径3の扇形となる。

底面の円周は $2 \pi \times 1 = 2 \pi$ なので、展開図である扇形の弧の長さは $2 \pi$ である。

扇形の中心角を $\theta$ とすると、 $3 \theta = 2 \pi$ より、 $\theta = \frac{2 \pi}{3}$ である。

最短となる糸は、展開図において点Aから点Aを結ぶ線分である。

扇形の中心Oと線分AAからなる三角形OAAは二等辺三角形であり、$\angle AOA = \frac{2 \pi}{3}$である。

線分AAの長さを求める。余弦定理より、

$AA^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \times 3 \times 3 \times \cos(\frac{2 \pi}{3})$

$AA^2 = 9 + 9 - 18 \times (-\frac{1}{2})$

$AA^2 = 18 + 9 = 27$

$AA = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}$