焦点が $(\sqrt{7}, 0)$ で、点 $(10, 2\sqrt{5})$ を通る双曲線の式を求める。

1. 問題の内容

焦点が $(\sqrt{7}, 0)$ で、点 $(10, 2\sqrt{5})$ を通る双曲線の式を求める。

2. 解き方の手順

双曲線の標準形は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ である。焦点の座標は $(\pm c, 0)$ であり、$c^2 = a^2 + b^2$ の関係がある。

与えられた焦点の座標から $c = \sqrt{7}$ である。したがって、$a^2 + b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$ となる。

点 $(10, 2\sqrt{5})$ が双曲線上にあるので、$\frac{10^2}{a^2} - \frac{(2\sqrt{5})^2}{b^2} = 1$ が成り立つ。

つまり、$\frac{100}{a^2} - \frac{20}{b^2} = 1$ となる。

$a^2 + b^2 = 7$ より、$b^2 = 7 - a^2$ と表せる。これを $\frac{100}{a^2} - \frac{20}{b^2} = 1$ に代入すると、

$\frac{100}{a^2} - \frac{20}{7 - a^2} = 1$

両辺に $a^2(7 - a^2)$ をかけると、

$100(7 - a^2) - 20a^2 = a^2(7 - a^2)$

$700 - 100a^2 - 20a^2 = 7a^2 - a^4$

$a^4 - 127a^2 + 700 = 0$

この4次方程式を解く。$A = a^2$ とおくと、$A^2 - 127A + 700 = 0$ となる。

解の公式より、$A = \frac{127 \pm \sqrt{127^2 - 4 \cdot 700}}{2} = \frac{127 \pm \sqrt{16129 - 2800}}{2} = \frac{127 \pm \sqrt{13329}}{2} = \frac{127 \pm 115.45}{2}$

$A = \frac{127 + 115.45}{2} \approx 121.23$ または $A = \frac{127 - 115.45}{2} \approx 5.77$

$a^2 \approx 121.23$ ならば $b^2 = 7 - a^2 \approx -114.23 < 0$ となり不適。

$a^2 \approx 5.77$ ならば $b^2 = 7 - a^2 \approx 1.23$

選択肢の中から、$a^2 + b^2 = 7$ を満たし、$(\sqrt{7}, 0)$ を焦点とするものを選ぶ。

1: $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ -> $a^2=16, b^2=9$, $c^2 = 16+9 = 25$, $c = 5$

2: $6x^2 - 4y^2 = 35$ -> $\frac{x^2}{35/6} - \frac{y^2}{35/4} = 1$ -> $a^2 = 35/6$, $b^2 = 35/4$, $c^2 = 35/6 + 35/4 = 35(2+3)/12 = 175/12 \approx 14.58$, $c \approx 3.82$

3: $5x^2 - 4y^2 = 100$ -> $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{25} = 1$ -> $a^2=20, b^2=25, c^2 = 45, c = 3\sqrt{5}$

4: $3x^2 - 4y^2 = 120$ -> $\frac{x^2}{40} - \frac{y^2}{30} = 1$ -> $a^2 = 40, b^2 = 30, c^2 = 70, c = \sqrt{70}$

5: $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{2} = 1$ -> $a^2=5, b^2=2, c^2=7, c = \sqrt{7}$

$\frac{100}{5} - \frac{20}{2} = 20 - 10 = 10 \neq 1$

しかし、5の選択肢は焦点が一致するものの、与えられた点を通らない。

問題文の条件を満たす選択肢は存在しない。

3. 最終的な答え

6 わからない