半径1の球に内接する正四面体の1辺の長さを求める。

1. 問題の内容

半径1の球に内接する正四面体の1辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

正四面体の1辺の長さを $a$ とする。

正四面体の高さ $h$ は、底面の重心から頂点までの距離 $d$ と、底面の一つの頂点から重心までの距離 $r$ を使って求めることができる。

底面は正三角形であるから、$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$。

正四面体の高さは、$h = \sqrt{a^2 - r^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$となる。

正四面体の頂点から底面の重心までの距離を $d$ とすると、$d = \frac{3}{4}h$ となる。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

球の中心から正四面体の頂点までの距離は1（球の半径）である。

球の中心、正四面体の頂点、正四面体の底面の重心が一直線上に並んでいる。

したがって、球の中心から底面までの距離 $x$ は、$1 = \frac{a\sqrt{6}}{4} + x$ あるいは、$1 = |\frac{a\sqrt{6}}{4} - x|$ となる。

ここで、$x$ は、正四面体の底面重心から球の中心までの距離である。

直角三角形を考えると、$x^2 + r^2 = 1^2$ より、$x^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = 1$ すなわち $x^2 = 1 - \frac{a^2}{3}$.

したがって、$x = \sqrt{1 - \frac{a^2}{3}}$

球の中心から正四面体の頂点までの距離を考えると、

$\frac{a\sqrt{6}}{4} + \sqrt{1 - \frac{a^2}{3}} = 1$ となる。

しかし、正四面体の内接球の中心と外接球の中心は一致するので、$d + x = 2$ となる。

正四面体の重心から頂点までの距離 $d = \frac{\sqrt{6}}{4} a$

球の半径は $1$ であるので、正四面体の重心から底面までの距離 $x$ を考えると、$x + d = 2r/r = 1$になる。

底面の重心から正四面体の頂点までの距離が $\frac{3}{4}h = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

底面の重心から正四面体の頂点までの距離と、底面の重心から底面までの距離の合計が球の直径の2倍になるので、

$\frac{a\sqrt{6}}{4} + x = 1$ となる。

$x = \sqrt{1 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{1 - \frac{3a^2}{9}}$.

$\frac{\sqrt{6} a}{4} + \frac{1}{4}a\sqrt{6} = \sqrt{1-\frac{a^2}{3}}$.

よって、$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{6}}{3}$