$xy$平面上に3点A(2, 2), B(-2, 0), C(4, 0)がある。$\triangle ABC$の外接円を$C$とする。 (1) 線分ABの中点の座標と、線分ABの垂直二等分線の方程式をそれぞれ求めよ。 (2) 円$C$の中心の座標と半径をそれぞれ求めよ。 (3) 円$D: x^2 + y^2 = 12$とする。円$C$と円$D$の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に3点A(2, 2), B(-2, 0), C(4, 0)がある。$\triangle ABC$の外接円を$C$とする。

(1) 線分ABの中点の座標と、線分ABの垂直二等分線の方程式をそれぞれ求めよ。

(2) 円$C$の中心の座標と半径をそれぞれ求めよ。

(3) 円$D: x^2 + y^2 = 12$とする。円$C$と円$D$の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの中点の座標は、AとBの座標の平均を取ることで求められる。線分ABの垂直二等分線は、線分ABの中点を通り、線分ABに垂直な直線である。傾きを計算し、垂直条件を用いる。

(2) 円$C$の中心は、線分ABと線分BCの垂直二等分線の交点である。線分BCの垂直二等分線を求め、線分ABの垂直二等分線との連立方程式を解けば、円$C$の中心の座標が求まる。半径は中心から各頂点までの距離を計算することで求まる。

(3) 円$C$と円$D$の共有点は、それぞれの円の方程式を連立させて解くことで求まる。円$C$の方程式を求め、円$D$の方程式と連立させる。

(1)

線分ABの中点の座標は、$\left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (0, 1)$。

線分ABの傾きは、$\frac{2-0}{2-(-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

線分ABの垂直二等分線の傾きは、$-2$。

線分ABの垂直二等分線の方程式は、$y - 1 = -2(x - 0)$、すなわち、$y = -2x + 1$。

(2)

線分BCの中点の座標は、$\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0)$。

線分BCの傾きは、$\frac{0-0}{-2-4} = 0$。

線分BCは$x$軸に平行なので、線分BCの垂直二等分線は$x=1$である。

円$C$の中心は、線分ABの垂直二等分線$y = -2x + 1$と線分BCの垂直二等分線$x=1$の交点なので、

$x=1$を$y = -2x + 1$に代入すると、$y = -2(1) + 1 = -1$。

円$C$の中心の座標は$(1, -1)$。

円$C$の半径は、中心$(1, -1)$と点A$(2, 2)$の距離で求められる。

$r = \sqrt{(2-1)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。

(3)

円$C$の方程式は、$(x-1)^2 + (y+1)^2 = 10$、すなわち、$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 10$、

$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 8 = 0$。

円$D$の方程式は、$x^2 + y^2 = 12$。

円$D$の式を円$C$の式に代入すると、$12 - 2x + 2y - 8 = 0$、すなわち、$2y = 2x - 4$、$y = x - 2$。

これを円$D$の方程式に代入すると、$x^2 + (x-2)^2 = 12$、$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 12$、$2x^2 - 4x - 8 = 0$、$x^2 - 2x - 4 = 0$。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$。

$x = 1 + \sqrt{5}$のとき、$y = (1 + \sqrt{5}) - 2 = \sqrt{5} - 1$。

$x = 1 - \sqrt{5}$のとき、$y = (1 - \sqrt{5}) - 2 = -\sqrt{5} - 1$。

3. 最終的な答え

(1) 線分ABの中点の座標: $(0, 1)$、線分ABの垂直二等分線の方程式: $y = -2x + 1$

(2) 円$C$の中心の座標: $(1, -1)$、円$C$の半径: $\sqrt{10}$

(3) 円$C$と円$D$の共有点の座標: $(1+\sqrt{5}, \sqrt{5}-1), (1-\sqrt{5}, -\sqrt{5}-1)$