与えられた双曲線 $2x^2 - 3y^2 = -6$ について、焦点の座標と漸近線を求める問題です。提示された選択肢の中から正しいものを選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

与えられた双曲線 $2x^2 - 3y^2 = -6$ について、焦点の座標と漸近線を求める問題です。提示された選択肢の中から正しいものを選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の式を標準形に変形します。与えられた式を-6で割ると、

$$\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{3} = 1$$

となります。これは、y軸が主軸の双曲線です。

双曲線の標準形は、$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ であり、$a^2 = 2$ 、$b^2 = 3$ であることがわかります。

焦点の座標は $(0, \pm c)$ であり、$c^2 = a^2 + b^2$ から $c$ を求めます。

$c^2 = 2 + 3 = 5$ なので、$c = \sqrt{5}$ となります。したがって、焦点の座標は $(0, \pm \sqrt{5})$ です。

漸近線の方程式は $y = \pm \frac{a}{b}x$ で表されます。

この場合、$a = \sqrt{2}$ 、$b = \sqrt{3}$ であるので、漸近線は $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}x$ となります。

これを整理すると $y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}x$となり、さらに$\sqrt{3}$を分子分母にかけると、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}x$となります。

したがって、漸近線の方程式は $\sqrt{3}x \pm \sqrt{2}y = 0$ となります。

3. 最終的な答え

焦点: $(0, \pm \sqrt{5})$、漸近線: $\sqrt{3}x \pm \sqrt{2}y = 0$

選択肢３が正しいです。