一辺4cmの正方形ABCDにおいて、点PはAを出発し毎秒1cmで辺AB上をBまで動く。その後停止する。点QはBを出発し、毎秒2cmで正方形の辺上をC, Dを通ってAまで動く。点P, Qが同時に出発してx秒後の三角形APQの面積をy cm^2とする。 (1) $x=3$のとき、$y$の値を求めよ。 (2) $4 \le x \le 6$のとき、$y$を$x$の式で表せ。

1. 問題の内容

一辺4cmの正方形ABCDにおいて、点PはAを出発し毎秒1cmで辺AB上をBまで動く。その後停止する。点QはBを出発し、毎秒2cmで正方形の辺上をC, Dを通ってAまで動く。点P, Qが同時に出発してx秒後の三角形APQの面積をy cm^2とする。

(1) $x=3$のとき、$y$の値を求めよ。

(2) $4 \le x \le 6$のとき、$y$を$x$の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$のとき

点PはAから$1 \times 3 = 3$ cmの位置にいる。

点QはBから$2 \times 3 = 6$ cmの位置にいる。これは$BC+CD = 4+4 = 8$ cmより、点Qは辺CD上にいる。

三角形APQの面積$y$は、底辺AP、高さADと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AD = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

(2) $4 \le x \le 6$のとき

点Pは$4 \div 1 = 4$秒でBに到達し停止しているので、点Pの位置はBに固定されている。

点Qは$4 \div 2 = 2$秒で一辺を移動するので、点QはDA上にある。

$AQ = BC + CD + DA - 2x = 4 + 4 + 4 - 2x = 12 - 2x$

三角形APQの面積$y$は、底辺AQ、高さABと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times AQ \times AB = \frac{1}{2} \times (12 - 2x) \times 4 = 2(12 - 2x) = 24 - 4x$

3. 最終的な答え

(1) $y = 6$

(2) $y = -4x + 24$