ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられており、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ である。 (1) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$ の値を求める。 (2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられており、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ である。

(1) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$ の値を求める。

(2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$ を展開する。

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= 2|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2$

$= 2(3^2) - (-2) - 2^2$

$= 2(9) + 2 - 4$

$= 18 + 2 - 4 = 16$

(2) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を展開する。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 3^2 - 2(-2) + 2^2$

$= 9 + 4 + 4 = 17$

3. 最終的な答え

(1) 16

(2) 17