放物線 $y = x^2$ 上に2点 $A(-2, 4)$ と $B(4, 16)$ があります。放物線上の点 $A$ から $B$ までの範囲を動く点を $P$ とし、四角形 $APBQ$ が平行四辺形となるように点 $Q$ を取ります。 ①点 $P$ が原点 $O$ に重なるときの点 $Q$ の座標と直線 $AQ$ の方程式を求めます。 ②原点 $O$ を通り、平行四辺形 $APBQ$ の面積を二等分する直線の方程式を求めます。 ③点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とするとき、点 $Q$ の座標を $p$ で表します。 ④直線 $PQ$ の傾きが $-6$ のとき、$p$ の値を求めます。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上に2点 $A(-2, 4)$ と $B(4, 16)$ があります。放物線上の点 $A$ から $B$ までの範囲を動く点を $P$ とし、四角形 $APBQ$ が平行四辺形となるように点 $Q$ を取ります。

①点 $P$ が原点 $O$ に重なるときの点 $Q$ の座標と直線 $AQ$ の方程式を求めます。

②原点 $O$ を通り、平行四辺形 $APBQ$ の面積を二等分する直線の方程式を求めます。

③点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とするとき、点 $Q$ の座標を $p$ で表します。

④直線 $PQ$ の傾きが $-6$ のとき、$p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

① 点 $P$ が原点 $O(0, 0)$ に重なるとき、平行四辺形 $APBQ$ は $ABQO$ となります。

$AQ$ は $BO$ と平行で長さが等しいので、$Q$ の座標は、$A$ を $-2$ だけ $x$ 軸方向に、$-4$ だけ $y$ 軸方向に平行移動した点に等しくなります。

したがって、$Q(4- (-2), 16 -4) = (6, 12)$.

$A(-2, 4)$ と $Q(6, 12)$ を通る直線の方程式は、傾きが $\frac{12-4}{6-(-2)} = \frac{8}{8} = 1$ であり、$y-4 = 1(x-(-2))$ より、$y = x+6$ となります。

② 平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるので、平行四辺形 $APBQ$ の面積を二等分する直線は、対角線 $AB$ と $PQ$ の中点を通ります。

$P$ が原点にあるとき、対角線 $AQ$ と $BO$ の中点を通る直線は原点を通ります。

$A(-2, 4)$, $B(4, 16)$ の中点を $M$ とすると、$M(\frac{-2+4}{2}, \frac{4+16}{2}) = M(1, 10)$

原点と点 $M(1, 10)$ を通る直線の方程式は、$y = 10x$ となります。

③ 点 $P$ の座標を $(p, p^2)$ とすると、$APBQ$ は平行四辺形なので、$AP = QB$ が成り立ちます。

$Q$ の座標を $(x, y)$ とすると、$Q$ は $P$ から $A$ への移動ベクトルと同じだけ $B$ から移動した点です。

$x = 4 + (p - (-2)) = p+6$

$y = 16 + (p^2 - 4) = p^2 + 12$

したがって、$Q(p+6, p^2+12)$

④ 直線 $PQ$ の傾きが $-6$ なので、$\frac{(p^2+12) - p^2}{(p+6)-p} = -6$。これは $\frac{12}{6} = 2$ となり、-6にはなりません。

$P(p, p^2)$, $Q(p+6, p^2+12)$ より、傾きは、$\frac{(p^2+12)-p^2}{(p+6)-p} = \frac{12}{6} = 2$となります。問題文の設定に矛盾があります。

問題文の意図を考慮し、AQの傾きが -6となるときを考えます。

$A(-2, 4)$, $Q(p+6, p^2+12)$より、傾きは$\frac{p^2+12-4}{p+6+2} = \frac{p^2+8}{p+8} = -6$

$p^2+8 = -6p-48$

$p^2+6p+56=0$

この二次方程式は実数解を持ちません。

もしPQの傾きを計算するとしたら、

P(p,p^2)とQ(p+6,p^2+12)を結ぶ直線の傾きは(p^2+12 - p^2)/(p+6 - p) = 12/6 = 2

傾きが-6となるpは存在しません。

3. 最終的な答え

① $Q$ の座標: $(6, 12)$、直線 $AQ$ の方程式: $y = x + 6$

② 原点を通る直線の方程式: $y = 10x$

③ $Q$ の座標: $(p+6, p^2+12)$

④ $p$: 存在しない (傾きが-6となるpは存在しない)