放物線 $y=x^2$ 上に点A(-2, 4)とB(4, 16)がある。放物線上の点PをAからBまで動かし、四角形APBQが平行四辺形になるように点Qをとる。以下の問いに答えよ。 (1) 点Pが原点Oにあるとき、点Qの座標と直線AQの方程式を求めよ。 (2) 原点Oを通り、平行四辺形APBQの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。 (3) 点Pのx座標を $p$ とするとき、点Qの座標を $p$ で表せ。 (4) 直線PQの傾きが-6のとき、$p$ の値を求めよ。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ 上に点A(-2, 4)とB(4, 16)がある。放物線上の点PをAからBまで動かし、四角形APBQが平行四辺形になるように点Qをとる。以下の問いに答えよ。

(1) 点Pが原点Oにあるとき、点Qの座標と直線AQの方程式を求めよ。

(2) 原点Oを通り、平行四辺形APBQの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。

(3) 点Pのx座標を $p$ とするとき、点Qの座標を $p$ で表せ。

(4) 直線PQの傾きが-6のとき、$p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが原点O(0,0)にあるとき:

平行四辺形APBQの性質から、$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{QB}$.

$A(-2, 4)$, $P(0, 0)$なので、$\overrightarrow{AP} = (0 - (-2), 0 - 4) = (2, -4)$.

点Qの座標を $(x, y)$ とすると、$\overrightarrow{QB} = (4 - x, 16 - y)$.

したがって、$(2, -4) = (4 - x, 16 - y)$.

これから、$2 = 4 - x$ より $x = 2$, $-4 = 16 - y$ より $y = 20$.

よって、点Qの座標は (2, 20)。

直線AQの方程式を $y = ax + b$ とおく。

A(-2, 4), Q(2, 20)を通るので、

$4 = -2a + b$

$20 = 2a + b$

足し合わせると、$24 = 2b$ より $b = 12$.

$4 = -2a + 12$ より $2a = 8$, $a = 4$.

したがって、直線AQの方程式は $y = 4x + 12$.

(2) 平行四辺形APBQの面積を二等分する直線は、平行四辺形の対角線の交点を通る。

点Pが原点Oのとき、平行四辺形の対角線の交点をMとすると、MはABの中点となる。

$A(-2, 4), B(4, 16)$より、Mの座標は $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{4+16}{2}\right) = (1, 10)$.

原点O(0, 0)と点M(1, 10)を通る直線の方程式は、$y = 10x$.

(3) 点Pのx座標を $p$ とすると、$P(p, p^2)$.

$\overrightarrow{AP} = (p - (-2), p^2 - 4) = (p + 2, p^2 - 4)$.

$\overrightarrow{QB} = (4 - x, 16 - y)$.

したがって、$(p + 2, p^2 - 4) = (4 - x, 16 - y)$.

これから、$p + 2 = 4 - x$ より $x = 2 - p$, $p^2 - 4 = 16 - y$ より $y = 20 - p^2$.

よって、点Qの座標は $(2 - p, 20 - p^2)$.

(4) 直線PQの傾きが-6のとき:

$P(p, p^2), Q(2 - p, 20 - p^2)$を通る直線の傾きは、

$\frac{(20 - p^2) - p^2}{(2 - p) - p} = \frac{20 - 2p^2}{2 - 2p} = \frac{2(10 - p^2)}{2(1 - p)} = \frac{10 - p^2}{1 - p}$.

これが-6に等しいので、$\frac{10 - p^2}{1 - p} = -6$.

$10 - p^2 = -6(1 - p) = -6 + 6p$.

$p^2 + 6p - 16 = 0$.

$(p + 8)(p - 2) = 0$.

$p = -8, 2$.

点PはA(-2, 4)からB(4, 16)まで動くので、$-2 \le p \le 4$。

したがって、$p = 2$.

3. 最終的な答え

① (2, 20)

② $y = 4x + 12$

③ $y = 10x$

④ $(2 - p, 20 - p^2)$

⑤ 2