三角形ABCにおいて、$a=4$, $∠A=45^\circ$, $∠B=105^\circ$, $∠C=30^\circ$のとき、$c$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $∠A=45^\circ$, $∠B=105^\circ$, $∠C=30^\circ$のとき、$c$の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。正弦定理とは、三角形ABCにおいて、以下の関係が成り立つことである。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

この問題では、$a=4$, $∠A=45^\circ$, $∠C=30^\circ$なので、

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 30^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$より

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{2}}$

$\frac{8}{\sqrt{2}} = 2c$

$c = \frac{4}{\sqrt{2}}$

$c = \frac{4\sqrt{2}}{2}$

$c = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{2}$