放物線 $y = x^2$ 上に点A(-2, 4) と点B(4, 16) がある。放物線上の点Aから点Bまで動く点をPとし、四角形APBQが平行四辺形となるように点Qをとる。以下の問いに答えよ。 (1) 点Pが原点Oに重なるとき、点Qの座標と直線AQの方程式を求めよ。 (2) 原点Oを通り、平行四辺形APBQの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。 (3) 点Pのx座標を$p$とするとき、点Qの座標を$p$を用いて表せ。 (4) 直線PQの傾きが-6のとき、$p$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上に点A(-2, 4) と点B(4, 16) がある。放物線上の点Aから点Bまで動く点をPとし、四角形APBQが平行四辺形となるように点Qをとる。以下の問いに答えよ。

(1) 点Pが原点Oに重なるとき、点Qの座標と直線AQの方程式を求めよ。

(2) 原点Oを通り、平行四辺形APBQの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。

(3) 点Pのx座標を$p$とするとき、点Qの座標を$p$を用いて表せ。

(4) 直線PQの傾きが-6のとき、$p$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが原点Oに重なるとき、Pの座標は(0, 0)となる。四角形APBOが平行四辺形であるとき、$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OB}$が成り立つ。したがって、Qの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{PB}$より、

$(0 - (-2), 0 - 4) = (4 - x, 16 - y)$

$(2, -4) = (4 - x, 16 - y)$

$2 = 4 - x \implies x = 2$

$-4 = 16 - y \implies y = 20$

したがって、点Qの座標は(2, 20)である。

直線AQの方程式を$y = mx + n$とおくと、A(-2, 4)とQ(2, 20)を通るので、

$4 = -2m + n$

$20 = 2m + n$

足し合わせると、$24 = 2n \implies n = 12$

$4 = -2m + 12 \implies 2m = 8 \implies m = 4$

したがって、直線AQの方程式は$y = 4x + 12$となる。

(2) 平行四辺形APBQの面積を二等分する直線は、対角線の交点を通る。対角線ABの中点をM、PQの中点をNとする。すると、四角形APBQの面積を二等分する直線はMまたはNを通る。今回は原点Oを通る直線なので、ABの中点を求める。

$M = (\frac{-2 + 4}{2}, \frac{4 + 16}{2}) = (1, 10)$

原点Oと点M(1, 10)を通る直線の方程式は、$y = 10x$となる。

(3) 点Pの座標を$(p, p^2)$とすると、$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{QB}$となる。Qの座標を(x, y)とすると、

$(p - (-2), p^2 - 4) = (4 - x, 16 - y)$

$p + 2 = 4 - x \implies x = 2 - p$

$p^2 - 4 = 16 - y \implies y = 20 - p^2$

したがって、点Qの座標は$(2 - p, 20 - p^2)$となる。

(4) 直線PQの傾きが-6のとき、

$\frac{(20 - p^2) - p^2}{(2 - p) - p} = -6$

$\frac{20 - 2p^2}{2 - 2p} = -6$

$20 - 2p^2 = -12 + 12p$

$2p^2 + 12p - 32 = 0$

$p^2 + 6p - 16 = 0$

$(p + 8)(p - 2) = 0$

$p = -8, 2$

点Pは点Aと点Bの間にあるので、$-2 \le p \le 4$を満たす必要がある。したがって、$p = 2$となる。

3. 最終的な答え

(1) 点Qの座標は(2, 20)で、直線AQの方程式は$y = 4x + 12$である。

(2) 原点Oを通り、平行四辺形APBQの面積を二等分する直線の方程式は$y = 10x$である。

(3) 点Qの座標は$(2 - p, 20 - p^2)$である。

(4) $p = 2$である。