$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta > 0$ なので、$\theta$ は第1象限または第2象限の角です。

第1象限では $\cos \theta > 0$ なので $\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

第2象限では $\cos \theta < 0$ なので $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$の範囲が$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なのでcosの値は正と負の両方を取ります。

次に、$\tan \theta$ を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用します。

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$