三角形ABCにおいて、$\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 105^\circ$, $a=8$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 105^\circ$, $a=8$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて解きます。正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

という関係が成り立つという定理です。

今回は、$a, \angle A, \angle B$ がわかっているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用いて $b$ を求めます。

与えられた値を代入すると、

$\frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$

となります。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

$\frac{16}{\sqrt{2}} = 2b$

$b = \frac{8}{\sqrt{2}}$

$b = \frac{8\sqrt{2}}{2}$

$b = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$