三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{10}$であるとき、その面積Sを求めよ。

## 問題 4 の解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{10}$であるとき、その面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

ヘロンの公式を用いて三角形の面積を求める。ヘロンの公式は以下の通り。

$s = \frac{a+b+c}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

まず、$s$ を計算する。

$s = \frac{3+2+\sqrt{10}}{2} = \frac{5+\sqrt{10}}{2}$

次に、$s-a$, $s-b$, $s-c$ を計算する。

$s-a = \frac{5+\sqrt{10}}{2} - 3 = \frac{5+\sqrt{10}-6}{2} = \frac{\sqrt{10}-1}{2}$

$s-b = \frac{5+\sqrt{10}}{2} - 2 = \frac{5+\sqrt{10}-4}{2} = \frac{1+\sqrt{10}}{2}$

$s-c = \frac{5+\sqrt{10}}{2} - \sqrt{10} = \frac{5+\sqrt{10}-2\sqrt{10}}{2} = \frac{5-\sqrt{10}}{2}$

面積$S$を計算する。

$S = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}+1}{2} \cdot \frac{5-\sqrt{10}}{2}}$

$S = \sqrt{\frac{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})}{4} \cdot \frac{(\sqrt{10}-1)(\sqrt{10}+1)}{4}}$

$S = \sqrt{\frac{(25-10)}{4} \cdot \frac{(10-1)}{4}}$

$S = \sqrt{\frac{15}{4} \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{\sqrt{135}}{4} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{15}}{4}$

## 問題 5 の解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて, AB=4, AC=3, 角A=60°とする。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC = 4:3となる。

三角形ABCの面積をSとすると、S = S(ABD) + S(ACD)

面積Sは、S = (1/2) * AB * AC * sinA = (1/2) * 4 * 3 * sin60° = (1/2) * 12 * (√3/2) = 3√3

AD = xとすると、S(ABD) = (1/2) * AB * x * sin30° = (1/2) * 4 * x * (1/2) = x

S(ACD) = (1/2) * AC * x * sin30° = (1/2) * 3 * x * (1/2) = (3/4)x

S = x + (3/4)x = (7/4)x

したがって、3√3 = (7/4)x

x = (12√3) / 7

3. 最終的な答え

$\frac{12\sqrt{3}}{7}$