三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$、$c = \sqrt{3}-1$、$A = 135^\circ$ が与えられています。残りの辺の長さ $a$ と角 $B$, $C$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$、$c = \sqrt{3}-1$、$A = 135^\circ$ が与えられています。残りの辺の長さ $a$ と角 $B$, $C$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺 $a$ の長さを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\cos 135^\circ$

$\cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$a^2 = 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$a^2 = 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3}-1)$

$a^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2$

$a^2 = 4$

$a = 2$

次に、正弦定理を用いて角 $B$ を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin 135^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{1}{2}$

$B = 30^\circ$

最後に、三角形の内角の和は $180^\circ$ であることを利用して角 $C$ を求めます。

$A + B + C = 180^\circ$

$135^\circ + 30^\circ + C = 180^\circ$

$165^\circ + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - 165^\circ$

$C = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$B = 30^\circ$

$C = 15^\circ$