三角形ABCにおいて、$AB=2, BC=x, CA=3$であるとき、以下の問いに答える。 (1) $x$のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $\triangle ABC$が鈍角三角形であるとき、$x$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2, BC=x, CA=3$であるとき、以下の問いに答える。

(1) $x$のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $\triangle ABC$が鈍角三角形であるとき、$x$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x$のとりうる値の範囲について。

三角形の成立条件より、

$AB+BC > CA$

$BC+CA > AB$

$CA+AB > BC$

が成り立つ必要がある。よって

$2+x > 3$

$x+3 > 2$

$3+2 > x$

これらの不等式を解くと

$x > 1$

$x > -1$

$5 > x$

したがって、$1 < x < 5$

(2) $\triangle ABC$が鈍角三角形であるとき。

鈍角三角形になるのは、最大角が鈍角の時である。

$x$が最大の辺の場合、$A$が鈍角となる。このとき、余弦定理より

$BC^2 > AB^2 + CA^2$

$x^2 > 2^2 + 3^2$

$x^2 > 4 + 9$

$x^2 > 13$

$x > \sqrt{13}$

これと、$1 < x < 5$より、$\sqrt{13} < x < 5$

$CA=3$が最大の辺の場合、$B$が鈍角となる。このとき、余弦定理より

$CA^2 > AB^2 + BC^2$

$3^2 > 2^2 + x^2$

$9 > 4 + x^2$

$5 > x^2$

$x^2 < 5$

$-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

これと、$1 < x < 5$より、$1 < x < \sqrt{5}$

$AB=2$が最大の辺になることはない。

したがって、鈍角三角形となる$x$の範囲は、$1 < x < \sqrt{5}, \sqrt{13} < x < 5$

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 5$

(2) $1 < x < \sqrt{5}, \sqrt{13} < x < 5$