問題4：三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{10}$ のとき、面積 $S$ を求めよ。 問題5：三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$, $\angle A = 60^\circ$とする。$\angle A$ の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$AD$ の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、問題4と問題5を解いていきます。

1. 問題の内容

問題4：三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{10}$ のとき、面積 $S$ を求めよ。

問題5：三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$, $\angle A = 60^\circ$とする。$\angle A$ の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$AD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

**問題4**

ヘロンの公式を使って三角形の面積を求める。まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$ を計算する。

次に、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ で面積を計算する。

$s = \frac{3 + 2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{5 + \sqrt{10}}{2}$

$S = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{10}}{2} (\frac{5 + \sqrt{10}}{2} - 3) (\frac{5 + \sqrt{10}}{2} - 2) (\frac{5 + \sqrt{10}}{2} - \sqrt{10})}$

$S = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{10}}{2} (\frac{-1 + \sqrt{10}}{2}) (\frac{1 + \sqrt{10}}{2}) (\frac{5 - \sqrt{10}}{2})}$

$S = \sqrt{\frac{(25-10)(10-1)}{16}}$

$S = \sqrt{\frac{15 \times 9}{16}}$

$S = \sqrt{\frac{135}{16}}$

$S = \frac{\sqrt{135}}{4} = \frac{\sqrt{9 \times 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

**問題5**

$\angle A$の二等分線が辺BCをDで交わるので、角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC = 4:3$。

したがって、$BD = \frac{4}{4+3} BC = \frac{4}{7} BC$。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos 60^\circ$

$BC^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

$BD = \frac{4\sqrt{13}}{7}$

$\triangle ABD$ において、余弦定理より、$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 AB \cdot BD \cos B$。

$\triangle ABC$ において、正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin B = \frac{AC \sin A}{BC} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$

$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{27}{52}} = \sqrt{\frac{25}{52}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$

$AD^2 = 4^2 + (\frac{4\sqrt{13}}{7})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{4\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{5}{2\sqrt{13}}$

$AD^2 = 16 + \frac{16 \times 13}{49} - \frac{160}{14}$

$AD^2 = 16 + \frac{208}{49} - \frac{80}{7}$

$AD^2 = \frac{16 \times 49 + 208 - 80 \times 7}{49} = \frac{784 + 208 - 560}{49} = \frac{432}{49}$

$AD = \sqrt{\frac{432}{49}} = \sqrt{\frac{144 \times 3}{49}} = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

問題4の答え：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$

問題5の答え：$\frac{12\sqrt{3}}{7}$