軸の方程式が $x=1$ で、2点 $(0, 1), (3, 7)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を求めよ。

1. 問題の内容

軸の方程式が $x=1$ で、2点 $(0, 1), (3, 7)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、軸の方程式が $x=1$ であることから、2次関数は $y = a(x-1)^2 + q$ と表せる。

$y = a(x-1)^2 + q$ を展開すると、

$y = a(x^2 - 2x + 1) + q = ax^2 - 2ax + a + q$ となる。

次に、点 $(0, 1)$ を通ることから、

$1 = a(0-1)^2 + q$

$1 = a + q$

点 $(3, 7)$ を通ることから、

$7 = a(3-1)^2 + q$

$7 = 4a + q$

2つの式を連立方程式として解く。

$1 = a + q$

$7 = 4a + q$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$7 - 1 = (4a + q) - (a + q)$

$6 = 3a$

$a = 2$

$a = 2$ を $1 = a + q$ に代入すると、

$1 = 2 + q$

$q = -1$

よって、2次関数は $y = 2(x-1)^2 - 1$ となる。

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 2x^2 - 4x + 2 - 1 = 2x^2 - 4x + 1$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 1$