4つの多項式の展開に関する問題です。具体的には、 (1) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ (2) $(x+1)(x+5)(x-2)(x-6)$ (3) $(x-5)(x+1)(x+3)(x+9)$ (4) $(a+1)(a-2)(a-3)(a-6)$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

4つの多項式の展開に関する問題です。具体的には、

(1) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$

(2) $(x+1)(x+5)(x-2)(x-6)$

(3) $(x-5)(x+1)(x+3)(x+9)$

(4) $(a+1)(a-2)(a-3)(a-6)$

を展開する問題です。

2. 解き方の手順

多項式の展開は、順番に掛け算を行っていくことで求められます。ここでは、それぞれの式について、適切な順番で掛け算を行い、展開後の多項式を求めます。

(1) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$

まず、$(a+1)(a+4)$と$(a+2)(a+3)$を計算します。

$(a+1)(a+4) = a^2 + 5a + 4$

$(a+2)(a+3) = a^2 + 5a + 6$

ここで、$A = a^2 + 5a$ と置くと、

$(A + 4)(A + 6) = A^2 + 10A + 24$

$A$ を元に戻すと、

$(a^2 + 5a)^2 + 10(a^2 + 5a) + 24 = (a^4 + 10a^3 + 25a^2) + (10a^2 + 50a) + 24 = a^4 + 10a^3 + 35a^2 + 50a + 24$

(2) $(x+1)(x+5)(x-2)(x-6)$

まず、$(x+1)(x-2)$と$(x+5)(x-6)$を計算します。

$(x+1)(x-2) = x^2 -x - 2$

$(x+5)(x-6) = x^2 -x - 30$

ここで、$X = x^2 - x$ と置くと、

$(X - 2)(X - 30) = X^2 - 32X + 60$

$X$ を元に戻すと、

$(x^2 - x)^2 - 32(x^2 - x) + 60 = (x^4 - 2x^3 + x^2) - (32x^2 - 32x) + 60 = x^4 - 2x^3 - 31x^2 + 32x + 60$

(3) $(x-5)(x+1)(x+3)(x+9)$

まず、$(x-5)(x+9)$と$(x+1)(x+3)$を計算します。

$(x-5)(x+9) = x^2 + 4x - 45$

$(x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3$

ここで、$X = x^2 + 4x$ と置くと、

$(X - 45)(X + 3) = X^2 - 42X - 135$

$X$ を元に戻すと、

$(x^2 + 4x)^2 - 42(x^2 + 4x) - 135 = (x^4 + 8x^3 + 16x^2) - (42x^2 + 168x) - 135 = x^4 + 8x^3 - 26x^2 - 168x - 135$

(4) $(a+1)(a-2)(a-3)(a-6)$

まず、$(a+1)(a-6)$と$(a-2)(a-3)$を計算します。

$(a+1)(a-6) = a^2 - 5a - 6$

$(a-2)(a-3) = a^2 - 5a + 6$

ここで、$A = a^2 - 5a$ と置くと、

$(A - 6)(A + 6) = A^2 - 36$

$A$ を元に戻すと、

$(a^2 - 5a)^2 - 36 = (a^4 - 10a^3 + 25a^2) - 36 = a^4 - 10a^3 + 25a^2 - 36$

3. 最終的な答え

(1) $a^4 + 10a^3 + 35a^2 + 50a + 24$

(2) $x^4 - 2x^3 - 31x^2 + 32x + 60$

(3) $x^4 + 8x^3 - 26x^2 - 168x - 135$

(4) $a^4 - 10a^3 + 25a^2 - 36$