(1) ア～エの中から、12の倍数をすべて選ぶ。 ア $2 \times 3 \times 7$ イ $2^2 \times 3 \times 5$ ウ $2 \times 3^2 \times 11$ エ $2^3 \times 3 \times 13$ (2) 165にできるだけ小さい自然数をかけて、18の倍数にするには、どんな数をかければよいか求める。 (3) 540をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の2乗にするには、どんな数で割ればよいか求める。

1. 問題の内容

(1) ア～エの中から、12の倍数をすべて選ぶ。

ア $2 \times 3 \times 7$

イ $2^2 \times 3 \times 5$

ウ $2 \times 3^2 \times 11$

エ $2^3 \times 3 \times 13$

(2) 165にできるだけ小さい自然数をかけて、18の倍数にするには、どんな数をかければよいか求める。

(3) 540をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の2乗にするには、どんな数で割ればよいか求める。

2. 解き方の手順

(1) 12の倍数であるためには、12の素因数分解 $12 = 2^2 \times 3$ を含む必要がある。

ア：$2 \times 3 \times 7 = 42$。 $2^2$の因子がないので、12の倍数ではない。

イ：$2^2 \times 3 \times 5 = 60$。 $2^2$と3の因子があるので、12の倍数である。

ウ：$2 \times 3^2 \times 11 = 198$。$2^2$の因子がないので、12の倍数ではない。

エ：$2^3 \times 3 \times 13 = 312$。 $2^2$と3の因子があるので、12の倍数である。

(2) $165 = 3 \times 5 \times 11$

18の倍数にするということは、$18 = 2 \times 3^2$の因子を含む必要がある。

165は既に3を含んでいるため、少なくとも3と2を掛ける必要がある。

したがって、求める数は$2 \times 3 \times k$ (kは整数)の形になる。最小の自然数なので、$2 \times 3 = 6$

$165 \times 6 = 990 = 18 \times 55$

(3) $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

ある自然数の2乗にするためには、素因数分解したときの各指数が偶数でなければならない。

540を割って各指数を偶数にするためには、3と5で割れば良い。

$540 \div (3 \times 5) = 540 \div 15 = 36 = 6^2$

したがって、割る数は15である。

3. 最終的な答え

(1) イ、エ

(2) 6

(3) 15