(5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。 (6) $\frac{1+\sqrt{5}}{5-3\sqrt{5}}$ を計算し、分母を有理化してください。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。

(6) $\frac{1+\sqrt{5}}{5-3\sqrt{5}}$ を計算し、分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

(5)

まず、分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{3}$を掛けます。

$$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

$$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{3}$$

$$= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$$

(6)

次に、分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $5+3\sqrt{5}$を分子と分母に掛けます。

$$\frac{1+\sqrt{5}}{5-3\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{5-3\sqrt{5}} \cdot \frac{5+3\sqrt{5}}{5+3\sqrt{5}}$$

$$= \frac{(1+\sqrt{5})(5+3\sqrt{5})}{25 - 9 \cdot 5}$$

$$= \frac{5+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}+3\cdot 5}{25 - 45}$$

$$= \frac{20+8\sqrt{5}}{-20}$$

$$= \frac{5+2\sqrt{5}}{-5}$$

$$= -\frac{5+2\sqrt{5}}{5}$$

$$= -1 - \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$

(6) $-\frac{5+2\sqrt{5}}{5}$ あるいは $-1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$