100から200までの整数について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 3で割ると1余る数の和を求めます。 (2) 2または3の倍数の和を求めます。

1. 問題の内容

100から200までの整数について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 3で割ると1余る数の和を求めます。

(2) 2または3の倍数の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3で割って1余る数について：

まず、100以上200以下の整数で、3で割って1余る数をすべて見つけます。

最小の数は100を3で割った余りが1なので、100です。

最大の数は200を3で割った余りが2なので、200-1=199です。

したがって、数列は$100, 103, 106, \dots, 199$となります。

これは初項が100、公差が3の等差数列です。

項数を求めます。$199 = 100 + (n-1) \times 3$より、$99 = (n-1) \times 3$なので、$n-1 = 33$となり、$n=34$です。

等差数列の和の公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$より、$S_{34} = \frac{34(100+199)}{2} = \frac{34 \times 299}{2} = 17 \times 299 = 5083$となります。

(2) 2または3の倍数について：

まず、100以上200以下の2の倍数（偶数）の和を求めます。

最小の数は100、最大の数は200です。

数列は$100, 102, 104, \dots, 200$となります。

項数を求めます。$200 = 100 + (n-1) \times 2$より、$100 = (n-1) \times 2$なので、$n-1 = 50$となり、$n=51$です。

和は$S_{51} = \frac{51(100+200)}{2} = \frac{51 \times 300}{2} = 51 \times 150 = 7650$です。

次に、100以上200以下の3の倍数の和を求めます。

最小の数は102、最大の数は198です。

数列は$102, 105, 108, \dots, 198$となります。

項数を求めます。$198 = 102 + (n-1) \times 3$より、$96 = (n-1) \times 3$なので、$n-1 = 32$となり、$n=33$です。

和は$S_{33} = \frac{33(102+198)}{2} = \frac{33 \times 300}{2} = 33 \times 150 = 4950$です。

2と3の公倍数、つまり6の倍数の和を求めます。

最小の数は102、最大の数は198です。

数列は$102, 108, 114, \dots, 198$となります。

項数を求めます。$198 = 102 + (n-1) \times 6$より、$96 = (n-1) \times 6$なので、$n-1 = 16$となり、$n=17$です。

和は$S_{17} = \frac{17(102+198)}{2} = \frac{17 \times 300}{2} = 17 \times 150 = 2550$です。

2または3の倍数の和は、（2の倍数の和）+（3の倍数の和）-（6の倍数の和）で求められます。

$7650 + 4950 - 2550 = 10050$となります。

3. 最終的な答え

(1) 3で割って1余る数の和: 5083

(2) 2または3の倍数の和: 10050