与えられた数列の規則性を見抜き、以下の3つの問いに答えます。 * 数列の26番目の数を求める。 * 5が2回目に出てくるのが何番目かを求める。 * 数列の最初から30番目までの和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列の規則性を見抜き、以下の3つの問いに答えます。

* 数列の26番目の数を求める。

* 5が2回目に出てくるのが何番目かを求める。

* 数列の最初から30番目までの和を求める。

2. 解き方の手順

数列は 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, ... となっています。

数列は以下のグループに分けられます。

(1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 7), ...

各グループは4つの数から構成され、各グループの最初の数は1ずつ増加します。

(1) 26番目の数を求める。

グループの数は $26 \div 4 = 6$ あまり 2 です。

つまり、7番目のグループの2番目の数となります。

7番目のグループは (7, 8, 9, 10) なので、その2番目の数は 8 です。

(2) 5が2回目に出てくるのは何番目かを求める。

5 が最初に出てくるのは 8番目です。

2番目のグループ (2, 3, 4, 5) に 5 が含まれています。

次のグループで5が出現するのは、(4, 5, 6, 7)となり、5は2番目に出現するのは、4番目のグループです。

4番目のグループ (4, 5, 6, 7) なので、5 は 4番目のグループの2番目に現れる。

4グループなので、$4 \times 4 = 16$、16番目から最初の4つの数のグループを取り除き、2番目の数字なので、16 - 4 + 2 = 12 + 2 = 14。

1から5までの数を含むグループは2番目のグループであるため、$4 + 2 = 6$ に5がある。

次に、5がリストに表示されるのは、グループ(4, 5, 6, 7)の番号5である2番目の場所、つまり合計で4 * 3 + 2 = 14番目。

(3) 最初から30番目までの整数の和を求める。

30 ÷ 4 = 7 あまり 2 なので、7つのグループと、8番目のグループの最初の2つの数 (8, 9) を足します。

最初の7つのグループの最初の数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 です。これらのグループの和は、

$S = (1+2+3+4) + (2+3+4+5) + (3+4+5+6) + (4+5+6+7) + (5+6+7+8) + (6+7+8+9) + (7+8+9+10)$

$S = (10) + (14) + (18) + (22) + (26) + (30) + (34)$

$S = 10+14+18+22+26+30+34 = 154$

これに、8番目のグループの最初の2つの数を足します。 $8+9 = 17$

合計は $154+17 = 171$ となります。

もう一つの解法：

最初の $n$ 個の自然数の和は $\frac{n(n+1)}{2}$ で与えられます。

$i$ 番目のグループは $i, i+1, i+2, i+3$ から構成されます。

その和は $4i + 6$ となります。

7グループの和は $\sum_{i=1}^{7} (4i+6) = 4\sum_{i=1}^{7} i + 6 \times 7 = 4 \times \frac{7 \times 8}{2} + 42 = 4 \times 28 + 42 = 112 + 42 = 154$。

8番目のグループの最初の2つの数 (8, 9) を足して $154 + 8 + 9 = 154 + 17 = 171$。

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 14

(3) 171