$\sqrt{n^2 + 75}$ が自然数となるような自然数 $n$ を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 + 75}$ が自然数となるような自然数 $n$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 + 75} = m$ となる自然数 $m$ が存在すると仮定します。両辺を2乗すると

$n^2 + 75 = m^2$

$m^2 - n^2 = 75$

$(m+n)(m-n) = 75$

$m$ と $n$ は自然数なので、$m+n$ と $m-n$ も整数です。

$m+n > 0$ より、$m-n > 0$ でもあります。

$m+n > m-n$ であることに注意して、$75$ の約数の組み合わせを探します。$75 = 3 \times 5^2$ なので、$75$ の約数は $1, 3, 5, 15, 25, 75$ です。

ありうる組み合わせは次の通りです。

* $m+n = 75$, $m-n = 1$

* $m+n = 25$, $m-n = 3$

* $m+n = 15$, $m-n = 5$

それぞれの組み合わせについて、$m$ と $n$ を求めます。

* $m+n = 75$, $m-n = 1$ の場合、$2m = 76$ より $m = 38$、$n = 37$

* $m+n = 25$, $m-n = 3$ の場合、$2m = 28$ より $m = 14$、$n = 11$

* $m+n = 15$, $m-n = 5$ の場合、$2m = 20$ より $m = 10$、$n = 5$

したがって、$n = 5, 11, 37$ が解となります。

3. 最終的な答え

$n = 5, 11, 37$