$1\frac{19}{36}$ と $4\frac{1}{8}$ にそれぞれ同じ分数Aをかけて積が整数になるとき、最も小さい分数Aを求めよ。

1. 問題の内容

$1\frac{19}{36}$ と $4\frac{1}{8}$ にそれぞれ同じ分数Aをかけて積が整数になるとき、最も小さい分数Aを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた帯分数を仮分数に変換します。

$1\frac{19}{36} = \frac{36 + 19}{36} = \frac{55}{36}$

$4\frac{1}{8} = \frac{32 + 1}{8} = \frac{33}{8}$

分数Aを$\frac{p}{q}$とおきます。

$\frac{55}{36} \times \frac{p}{q}$と$\frac{33}{8} \times \frac{p}{q}$がともに整数になるように、$p$と$q$を定めます。

$\frac{55p}{36q}$と$\frac{33p}{8q}$が整数になるには、$55p$が$36q$の倍数、$33p$が$8q$の倍数になる必要があります。

分数Aを最も小さくするには、$p$と$q$をそれぞれ小さくする必要があります。

$p$は$36$と$8$の最小公倍数である必要があります。

$36 = 2^2 \times 3^2$

$8 = 2^3$

最小公倍数は $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$

したがって、$p = 72$

$q$は$55$と$33$の最大公約数である必要があります。

$55 = 5 \times 11$

$33 = 3 \times 11$

最大公約数は $11$

したがって、$q = 11$

よって、分数Aは$\frac{72}{11}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{72}{11}$