$x, y$ を実数とするとき、命題 $x+y \ge 0 \Rightarrow \lceil x \ge 0 \text{ かつ } y \ge 0 \rfloor$ の裏を求め、その真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ を実数とするとき、命題 $x+y \ge 0 \Rightarrow \lceil x \ge 0 \text{ かつ } y \ge 0 \rfloor$ の裏を求め、その真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 裏を求める

命題 $P \Rightarrow Q$ の裏は $\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}$ で表されます。ここで $\overline{P}$ は $P$ の否定を表します。

与えられた命題は $x+y \ge 0 \Rightarrow \lceil x \ge 0 \text{ かつ } y \ge 0 \rfloor$ です。

$P: x+y \ge 0$

$Q: x \ge 0 \text{ かつ } y \ge 0$

$\overline{P}: x+y < 0$

$\overline{Q}: x < 0 \text{ または } y < 0$

したがって、与えられた命題の裏は $x+y < 0 \Rightarrow \lceil x < 0 \text{ または } y < 0 \rfloor$ となります。

(2) 裏の真偽を判定する

裏の命題 $x+y < 0 \Rightarrow \lceil x < 0 \text{ または } y < 0 \rfloor$ が真であるか偽であるかを判定します。

$x+y < 0$ ならば、$x$ と $y$ の少なくとも一方は負である必要があります。これは $x < 0 \text{ または } y < 0$ と同値であるため、この命題は真です。

3. 最終的な答え

裏は $x+y < 0 \Rightarrow \lceil x < 0 \text{ または } y < 0 \rfloor$ であり、真偽は真です。