第59項が70、第66項が84である等差数列について、以下の問いに答えます。 (1) 初項と公差を求めます。 (2) 101がこの数列の項となり得るかを判定します。 (3) 初項から第何項までの和が最小となるかを求めます。

1. 問題の内容

第59項が70、第66項が84である等差数列について、以下の問いに答えます。

(1) 初項と公差を求めます。

(2) 101がこの数列の項となり得るかを判定します。

(3) 初項から第何項までの和が最小となるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$、公差を$d$とします。

等差数列の第$n$項は$a + (n-1)d$で表されるので、以下の式が成り立ちます。

$a + 58d = 70$

$a + 65d = 84$

この2つの式を連立させて解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$7d = 14$

$d = 2$

これを最初の式に代入すると、

$a + 58 \times 2 = 70$

$a + 116 = 70$

$a = -46$

したがって、初項は-46、公差は2です。

(2) 101がこの数列の項となり得るかを判定するには、101がある整数$n$に対して$a + (n-1)d = 101$を満たすかどうかを確認します。

$a = -46$、 $d = 2$なので、

$-46 + (n-1)2 = 101$

$2(n-1) = 147$

$n-1 = \frac{147}{2} = 73.5$

$n = 74.5$

$n$が整数ではないので、101はこの数列の項ではありません。

(3) 等差数列の和が最小になるのは、負の項の和に正の項が加わり始める直前です。 つまり、$a_n$が初めて正になる$n$の直前の項までの和が最小となります。

$a_n = a + (n-1)d = -46 + (n-1)2 > 0$を満たす最小の$n$を求めます。

$-46 + 2n - 2 > 0$

$2n > 48$

$n > 24$

したがって、$n=25$のときに初めて正の項になるので、$n=24$までの和が最小となります。

3. 最終的な答え

(1) 初項: -46, 公差: 2

(2) 101はこの数列の項ではない

(3) 第24項まで