与えられた2次関数の式を平方完成し、頂点の座標を求める問題です。 (7) $y = 2x^2 - 4x - 3$ (8) $y = -x^2 + 2x + 3$

1. 問題の内容

与えられた2次関数の式を平方完成し、頂点の座標を求める問題です。

(7) $y = 2x^2 - 4x - 3$

(8) $y = -x^2 + 2x + 3$

2. 解き方の手順

(7) $y = 2x^2 - 4x - 3$ の場合：

まず、$x^2$ の係数で $x$ の項までをくくり出します。

$y = 2(x^2 - 2x) - 3$

次に、括弧の中を平方完成させます。$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ を利用します。$x^2 - 2x$ を平方完成するには、$x^2 - 2x + 1 - 1$ と変形し、$(x-1)^2 - 1$ とします。

$y = 2((x-1)^2 - 1) - 3$

括弧を外し、定数項をまとめます。

$y = 2(x-1)^2 - 2 - 3$

$y = 2(x-1)^2 - 5$

頂点の座標は $(1, -5)$ です。

(8) $y = -x^2 + 2x + 3$ の場合：

まず、$x^2$ の係数で $x$ の項までをくくり出します。

$y = -(x^2 - 2x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成させます。$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ を利用します。$x^2 - 2x$ を平方完成するには、$x^2 - 2x + 1 - 1$ と変形し、$(x-1)^2 - 1$ とします。

$y = -((x-1)^2 - 1) + 3$

括弧を外し、定数項をまとめます。

$y = -(x-1)^2 + 1 + 3$

$y = -(x-1)^2 + 4$

頂点の座標は $(1, 4)$ です。

3. 最終的な答え

(7) 頂点の座標：$(1, -5)$

(8) 頂点の座標：$(1, 4)$