$(2x+5y)^4$ の展開式における $x^2y^2$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(2x+5y)^4$ の展開式における $x^2y^2$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。

$(a+b)^n$ の展開式における一般項は

$_{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$

で与えられます。今回の問題では、$a=2x$, $b=5y$, $n=4$ です。

$x^2y^2$ の係数を求めたいので、$n-r = 2$ かつ $r=2$ となる $r$ を探します。$n=4$ なので、$r=2$ となります。

したがって、展開式における $x^2y^2$ の項は、

$_{4}C_{2} (2x)^{4-2} (5y)^{2}$

= $_{4}C_{2} (2x)^{2} (5y)^{2}$

= $_{4}C_{2} \cdot 2^2 \cdot x^2 \cdot 5^2 \cdot y^2$

= $\frac{4!}{2!2!} \cdot 4 \cdot x^2 \cdot 25 \cdot y^2$

= $\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 25 \cdot x^2 y^2$

= $6 \cdot 4 \cdot 25 \cdot x^2 y^2$

= $6 \cdot 100 \cdot x^2 y^2$

= $600 x^2 y^2$

したがって、$x^2y^2$ の係数は $600$ です。

3. 最終的な答え

600