点PがAから何cm動いたとき、三角形PQDの面積が10cm$^2$になるかを求める問題です。ただし、ADの長さは10cmとします。AP = x cmとしたとき、三角形PQDの面積をxで表し、それが10cm$^2$になるようなxの値を求めます。

1. 問題の内容

点PがAから何cm動いたとき、三角形PQDの面積が10cm$^2$になるかを求める問題です。ただし、ADの長さは10cmとします。AP = x cmとしたとき、三角形PQDの面積をxで表し、それが10cm$^2$になるようなxの値を求めます。

2. 解き方の手順

三角形PQDの面積は、$\frac{1}{2} \times PD \times DQ$で表されます。

PD = 10 - x, DQ = xなので、三角形PQDの面積は$\frac{1}{2} (10-x) x$となります。

この面積が10cm$^2$になるので、

$\frac{1}{2} x (10-x) = 10$

という方程式を解きます。

まず、両辺を2倍します。

$x(10-x) = 20$

展開して整理します。

$10x - x^2 = 20$

$x^2 - 10x + 20 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = -10, c = 20$なので、

$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = 5 \pm \sqrt{5}$

ここで、$0 \leq x \leq 10$なので、$5 + \sqrt{5}$と$5 - \sqrt{5}$はいずれもこの範囲に収まります。

3. 最終的な答え

(5 + √5) cm, (5 - √5) cm