与えられた多項式 $2x^2 - 2y^2 - x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $2x^2 - 2y^2 - x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与式を以下のように変形します。

$2x^2 - 2y^2 - x + 5y - 3 = 2(x^2 - y^2) - x + 5y - 3$

$x^2 - y^2$ を因数分解すると $(x+y)(x-y)$ となるので、

$2(x+y)(x-y) - x + 5y - 3$

ここで、$2(x+y)(x-y) - (x-5y) - 3$ と変形し、

さらに、$2(x+y)(x-y) - (x-y) - 6 + 6y - (x-y) = -4y + 4y$ が成り立ちます。

$2(x+y)(x-y) - (x - y)$ 以外の項をうまくまとめてみましょう。

与えられた式は、

$2x^2 - 2y^2 - x + 5y - 3 = 2x^2 - x - (2y^2 - 5y + 3)$

と変形できます。ここで、$(2y^2 - 5y + 3)$ を因数分解します。

$2y^2 - 5y + 3 = (2y - 3)(y - 1)$

したがって、

$2x^2 - x - (2y^2 - 5y + 3) = 2x^2 - x - (2y - 3)(y - 1)$

もう少し違うアプローチを試してみます。

$2x^2 - 2y^2 - x + 5y - 3 = 2(x^2 - y^2) - x + 5y - 3 = 2(x+y)(x-y) - x + 5y - 3$

もし因数分解できると仮定すると、$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になるはずです。

$2x^2$ の項があることから、$a \times d = 2$ となる組み合わせを考えます。例えば、$a = 2, d = 1$ とします。

$-2y^2$ の項があることから、$b \times e = -2$ となる組み合わせを考えます。例えば、$b = 1, e = -2$ とします。

このとき、$(2x + y + c)(x - 2y + f)$ の形になります。

展開すると、$2x^2 - 4xy + 2fx + xy - 2y^2 + fy + cx - 2cy + cf = 2x^2 - 2y^2 - 3xy + (2f + c)x + (f - 2c)y + cf$

与式と係数を比較すると、$3xy$ の項がないことから、うまくいかないようです。

別の考え方として、$x$ について整理してみましょう。

$2x^2 - x - (2y^2 - 5y + 3)$

$2y^2 - 5y + 3 = (y-1)(2y-3)$ なので

$2x^2 - x - (y-1)(2y-3)$

ここで、$2x^2 - x - (y-1)(2y-3) = (ax + by + c)(dx + ey + f)$ と仮定します。

$a=2, d=1$ とすると、$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ となります。

$ac = -2$ となるときの組み合わせを考えます。

$2x^2 - 2y^2 - x + 5y - 3 = (2x+2y+3)(x-y-1)$

$(2x+2y+3)(x-y-1) = 2x^2 -2xy - 2x + 2xy - 2y^2 - 2y + 3x - 3y - 3 = 2x^2 - 2y^2 + x - 5y - 3$

符号が合わない箇所があるので、$y$ の符号を調整してみましょう。

$(2x-2y+3)(x+y-1) = 2x^2 + 2xy - 2x - 2xy - 2y^2 + 2y + 3x + 3y - 3 = 2x^2 - 2y^2 + x + 5y - 3$

$(2x-2y-3)(x+y+1) = 2x^2 + 2xy + 2x - 2xy - 2y^2 - 2y - 3x - 3y - 3 = 2x^2 - 2y^2 - x - 5y - 3$

$(2x + 2y + a)(x - y + b) = 2x^2 - 2xy + 2bx + 2xy - 2y^2 + 2by + ax - ay + ab = 2x^2 - 2y^2 + (2b+a)x + (2b-a)y + ab$

$2b+a = -1, 2b-a=5$ とすると、$4b = 4$ より $b=1$, $a = -3$

$ab = -3$ となるので、$(2x + 2y - 3)(x - y + 1) = 2x^2 -2y^2 -x +5y -3$

3. 最終的な答え

$(2x + 2y - 3)(x - y + 1)$