与えられた10個の式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(a-b)^2 - c^2$

二乗の差の因数分解の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = a-b$, $B=c$ とすると、

$(a-b)^2 - c^2 = (a-b+c)(a-b-c)$

(2) $25x^2 - 4a^2 + 4a - 1$

後ろの3項をマイナスでくくると、

$25x^2 - (4a^2 - 4a + 1)$

$25x^2 - (2a-1)^2$

再び二乗の差の因数分解の公式を利用します。

$(5x)^2 - (2a-1)^2 = (5x + (2a-1))(5x - (2a-1))$

$= (5x + 2a - 1)(5x - 2a + 1)$

(3) $(a+b)^2 - 6(a+b) + 5$

$a+b = X$ と置くと、

$X^2 - 6X + 5$

$(X-1)(X-5)$

$X$ を元に戻すと、

$(a+b-1)(a+b-5)$

(4) $(x+2)^2 - 6(x+2) - 16$

$x+2 = X$ と置くと、

$X^2 - 6X - 16$

$(X-8)(X+2)$

$X$ を元に戻すと、

$(x+2-8)(x+2+2) = (x-6)(x+4)$

(5) $x^4 + 3x^2 + 2$

$x^2 = X$ と置くと、

$X^2 + 3X + 2$

$(X+1)(X+2)$

$X$ を元に戻すと、

$(x^2+1)(x^2+2)$

(6) $x^4 + 5x^2 - 6$

$x^2 = X$ と置くと、

$X^2 + 5X - 6$

$(X+6)(X-1)$

$X$ を元に戻すと、

$(x^2+6)(x^2-1)$

$(x^2+6)(x+1)(x-1)$

(7) $16a^4 - b^4$

$(4a^2)^2 - (b^2)^2$

$(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$

$(4a^2+b^2)(2a+b)(2a-b)$

(8) $81x^4 - 16y^4$

$(9x^2)^2 - (4y^2)^2$

$(9x^2+4y^2)(9x^2-4y^2)$

$(9x^2+4y^2)(3x+2y)(3x-2y)$

(9) $(a+b+3)(a+b-2) + 4$

$a+b = X$ と置くと、

$(X+3)(X-2) + 4$

$X^2 + X - 6 + 4$

$X^2 + X - 2$

$(X+2)(X-1)$

$X$ を元に戻すと、

$(a+b+2)(a+b-1)$

(10) $(x^2+2x)^2 - 18(x^2+2x) + 45$

$x^2+2x = X$ と置くと、

$X^2 - 18X + 45$

$(X-3)(X-15)$

$X$ を元に戻すと、

$(x^2+2x-3)(x^2+2x-15)$

$(x+3)(x-1)(x+5)(x-3)$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b+c)(a-b-c)$

(2) $(5x + 2a - 1)(5x - 2a + 1)$

(3) $(a+b-1)(a+b-5)$

(4) $(x-6)(x+4)$

(5) $(x^2+1)(x^2+2)$

(6) $(x^2+6)(x+1)(x-1)$

(7) $(4a^2+b^2)(2a+b)(2a-b)$

(8) $(9x^2+4y^2)(3x+2y)(3x-2y)$

(9) $(a+b+2)(a+b-1)$

(10) $(x+3)(x-1)(x+5)(x-3)$