放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ と直線 $y = mx - m + 2$ について、次の問いに答えます。 (1) 直線が $m$ の値にかかわらず通る定点を求めます。 (2) 放物線と直線が異なる2点で交わることを示します。 (3) 交点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、放物線と直線で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha$, $\beta$ で表します。 (4) $S$ を $m$ で表し、$S$ の最小値とそのときの $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ と直線 $y = mx - m + 2$ について、次の問いに答えます。

(1) 直線が $m$ の値にかかわらず通る定点を求めます。

(2) 放物線と直線が異なる2点で交わることを示します。

(3) 交点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、放物線と直線で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha$, $\beta$ で表します。

(4) $S$ を $m$ で表し、$S$ の最小値とそのときの $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線の式を $m$ について整理します。

$y = mx - m + 2$ を $m$ について整理すると、

$m(x-1) - (y-2) = 0$

この式が $m$ の値にかかわらず成立するためには、$x-1 = 0$ かつ $y-2 = 0$ でなければなりません。

よって、$x = 1$, $y = 2$ となり、定点は $(1, 2)$ です。

(2) 放物線と直線の式を連立させ、$y$ を消去します。

$x^2 - 4x + 4 = mx - m + 2$

$x^2 - (m+4)x + m + 2 = 0$

判別式 $D$ を計算します。

$D = (m+4)^2 - 4(m+2) = m^2 + 8m + 16 - 4m - 8 = m^2 + 4m + 8 = (m+2)^2 + 4$

$D = (m+2)^2 + 4 > 0$ より、$D > 0$ であるから、放物線と直線は異なる2点で交わります。

(3) 面積 $S$ は、積分を用いて計算します。

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{(mx - m + 2) - (x^2 - 4x + 4)\} dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-x^2 + (m+4)x - (m+2)) dx = - \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (m+4)x + (m+2)) dx$

ここで、$x^2 - (m+4)x + (m+2) = (x - \alpha)(x - \beta)$ であることに注意します。

$S = - \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$

(4) 解と係数の関係より $\alpha + \beta = m + 4$, $\alpha \beta = m + 2$ なので、

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (m+4)^2 - 4(m+2) = m^2 + 8m + 16 - 4m - 8 = m^2 + 4m + 8$

$(\beta - \alpha)^2 = m^2 + 4m + 8$ より、$(\beta - \alpha) = \sqrt{m^2 + 4m + 8}$

したがって、$S = \frac{1}{6} (m^2 + 4m + 8)^{\frac{3}{2}}$

$S = \frac{1}{6} ((m+2)^2 + 4)^{\frac{3}{2}}$

$S$ は $m = -2$ のとき最小値をとります。最小値は $\frac{1}{6} (4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 8 = \frac{4}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(1, 2)$

(2) 異なる2点で交わる(証明は上記参照)

(3) $S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

(4) $m = -2$ のとき最小値 $\frac{4}{3}$