関数 $y=ax^2$ において、xの変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、yの変域が $b \le y \le 8$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ において、xの変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、yの変域が $b \le y \le 8$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=ax^2$ のグラフの形を考える。

yの変域に0が含まれていることから、$a$は負の値である必要がある。もしaが正の値であれば、x=2の時にy=8をとることからyの最小値は0なので、yの変域は0から8となる。しかし、yの変域がbから8となっているので矛盾する。

$a < 0$ の場合、$x = 2$ のとき $y = 8$ となることはない。なぜなら、$x=0$のときにyは最大値をとるからである。そこで、$x=2$のときにyは最小値をとると考え、$x=-1$のときにyは最大値をとると考えると矛盾する。

$y = ax^2$ のグラフにおいて、$x$ が $-1 \le x \le 2$ をとるとき、$y$ は最大値 $0$ を取る。

$y$ の最大値が 8 ではないので、$a$ は負の値である。

$x = -1$ のとき、$y$ は $a(-1)^2 = a$ をとる。

$x = 2$ のとき、$y$ は $a(2)^2 = 4a$ をとる。

$a$ が負の値なので、$4a < a < 0$ となる。

$y$ の変域は $4a \le y \le 0$ となるはずだが、$b \le y \le 8$ であるから、$a$ が負であるという仮定は間違っている。

$a>0$の場合を考える。x=-1の時、$y=a$。x=2の時、$y=4a$。従って$4a=8$となり、$a=2$。

$y=2x^2$なのでxが0の時最小値0を取る。従って、$b=0$。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 0$