数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 3, a_{n+1} = 3a_n - \frac{3^{n+1}}{n(n+1)}$ で定義されている。 (1) $b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ の式で表す。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 3, a_{n+1} = 3a_n - \frac{3^{n+1}}{n(n+1)}$ で定義されている。

(1) $b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ の式で表す。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{a_n}{3^n}$ であるから、$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}$ である。与えられた漸化式を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} - \frac{3^{n+1}}{3^{n+1} n(n+1)}$

$b_{n+1} = \frac{a_n}{3^n} - \frac{1}{n(n+1)}$

$b_{n+1} = b_n - \frac{1}{n(n+1)}$

(2) (1) で求めた漸化式を利用する。

$b_{n+1} = b_n - \frac{1}{n(n+1)} = b_n - (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{k(k+1)}) = b_1 - \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{3}{3} = 1$ であるから、

$b_n = 1 - (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n})$

$b_n = 1 - (1 - \frac{1}{n})$

$b_n = \frac{1}{n}$

$a_n = 3^n b_n = \frac{3^n}{n}$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = b_n - \frac{1}{n(n+1)}$

(2) $a_n = \frac{3^n}{n}$