関数 $y = -x^2$ について、 $x$ の変域が $-3 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $-16 \le y \le b$ である。$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2$ について、 $x$ の変域が $-3 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $-16 \le y \le b$ である。$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* $y = -x^2$ は上に凸の放物線である。

* $x$ の変域が $-3 \le x \le a$ なので、$x = -3$ のときの $y$ の値と、$x = a$ のときの $y$ の値を考える。また、$x$ の変域に $x=0$ が含まれている場合、 $y$ の最大値は $0$ になる。

* $x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 = -9$ である。

* $y$ の変域が $-16 \le y \le b$ であり、与えられた $x$ の変域で $x=0$ が含まれるか否かで場合分けする。

* $x$ の変域が $-3 \le x \le a$ であり、y の変域 $-16 \le y \le b$ の最小値は-16である。 $y=-x^2$に$y=-16$を代入すると、$x^2=16$より$x=\pm 4$となる。$-3 \le x \le a$なので、小さい方の-4はあり得ない。

* $a$ は正なので、$x=4$より、$x$ の範囲内に $x=0$ が含まれている。したがって、$y$ の最大値は $b=0$ となる。

* 次に、$x=a$ の時の $y$ の値が $-16$ になると考える。$y=-a^2 = -16$より、$a^2=16$、$a = \pm 4$ となる。$x$ の変域 $-3 \le x \le a$ より $a$ は正なので、$a=4$となる。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = 0$